सदिश बीजगणित , निरूपण, प्रकार, योग कैसे हल करे

सदिश बीजगणित का अध्ययन (हल) करने से पहले उसके Concept को पूर्ण रूप से समझना आवश्यक है, जो आप यहाँ समझेंगे। सबसे पहले सदिश और अदिश राशियाँ (Vector and Scalar Quantities) को जानते है।

1. सदिश राशियां

 जिन भौतिक राशियों में परिमाण तथा दिशा की आवश्यकता होती है। वे अदिश राशियाँ कहलाती है।
उदाहरण- विस्थापन, वेग, त्वरण, संवेग आदि।

2. अदिश राशियाँ

जिन भौतिक राशियों में केवल परिमाण की आवश्यकता होती है। वे अदिश राशियाँ कहलाती है।
उदाहरण- द्रव्यमान, समय, तापमान आदि।

अब अदिश और सदिश राशियाँ क्या होती है, इसके बारे में अध्ययन कर चुके है। अदिश राशियों में केवल परिमाण होता है इसलिए इन्हे साधारण गणित की तरह जोड़ा, घटाया, गुणा, भाग किया जा सकता है। लेकिन सदिश राशियों में परिमाण तथा दिशा दोनों होते है| इसलिए इन्हे साधारण गणित के माध्यम से नहीं जोड़ा, घटाया जा सकता है।

सदिश राशियों का निरूपरण      

माना कोई बिंदु O से P तक है, तो O को P से मिलाने वाली रेखा OP होगी।

जिसमे O को प्रारंभिक बिंदु तथा P को अंतिम बिंदु मानेंगे।यदि इसमें मान दिया गया है इसको इस प्रकार लिखेंगे।
सदिश राशियों को अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों से लिखते है तथा उसपे एक तीर का निशान लगा देते है।

सदिश राशि का मापांक (Moduls of a Vectors)

सदिश राशि का मापांक राशि के परिमाण को प्रदर्शित करता है। सदिश राशि का मापांक सदैव धनात्मक होता है। यदि कोई सदिश राशि a↦ हो तो उसका मापांक ⌊a⌉ होगा।

सदिशों के प्रकार (Types of Vector)

अब हम सबसे ये जान लेते है, ये कितने प्रकार के होते है, उसके बाद सदिशों के प्रकार को पूर्णरूप से जानेगे।
मुख्यता: सदिश 8 प्रकार के होते है।

1. शुन्य सदिश (Zero or Null Vector)
2. एकांक सदिश (Unit Vector)
3. समान सदिश (Equal Vector)
4. समदिश सदिश (Like Vector)
5. विपरीत सदिश (Unlike Vector)
6. ऋणात्मक सदिश (Negative Vector)
7. समरेखीय सदिश (Colinear Vector)
8. समतलीय सदिश (Coplanar Vector)

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1. शुन्य सदिश 

ऐसा सदिश जिसका परिमाण (मापांक) शुन्य हो, शुन्य सदिश कहलाता है।

2. एकांक सदिश

ऐसा सदिश जिसका मापांक एक हो एकांक सदिश कहलाता है। एकांक सदिश को किसी सदिश के ऊपर ∧ लगाकर प्रदर्शित करते है। जैसे –

किसी सदिश के एकांक सदिश को प्राप्त करने के लिए उसको उसके मापांक सदिश से भाग कर देते है।
                                                   

3. समान सदिश 

वे दो सदिश जिनके परिमाण बराबर और दिशा में समान हो तो उन्हें समान सदिश कहते है। जैसे-
→        

a  और  b दो समान सदिश है तो 
                                           →       → 
                                            a  =    b

4. समदिश सदिश 

जब दो सदिश एक ही दिशा में होते ही। तो समदिश सदिश कहलाता है।

5. विपरीत सदिश 

जब दो सदिश विपरीत दिशा में होते है, तो विपरीत सदिश कहलाते है।

6. ऋणात्मक सदिश

वह सदिश जिसका परिमाण एक दिए गए सदिश के परिमाण के बराबर हो लेकिन उसकी दिशा विपरीत हो, वह ऋणात्मक सदिश कहलाता है। जैसे —

7 . समरेखीय सदिश 

ऐसे सदिश जो एक ही रेखा के समान्तर है। समरेखीय सदिश कहलाते है। समरेखीय सदिशों के परिमाण भिन्न भिन्न हो सकते है।

8. समतलीय सदिश 

वे सदिश जो एक ही समतल के समान्तर हो समतलीय सदिश कहलाते है।

सदिशों का योगफल  (addition of Vectors)

सदिशों का योग ज्ञात करने का एक त्रिभुज नियम है। जिसके बारे में जानना काफी आवश्यक है। दो सदिशों का योग जिस नियम पर आधारित है, उसे सदिशों का योगफल कहते है।

                                                            →                                                                →     
माना A और B एक रेखा है, जिसका मान a  है तथा B और C एक रेखा है। जिसका मान b  है, इन दोनों को मिलाने वाली रेखा AC होगी तो,
                                   

एक सदिश का अदिश से गुणन 

माना m एक अदिश तथा a एक सदिश राशि है तब m·a एक ऐसा सदिश होगा जिसका परिमाण a के परिमाण का m गुना होगा।

अदिश तथा सदिश गुणनफल के नियम 

स्केलर गुणनफल के नियम 

1. दो परस्पर लम्बवत वेस्टरो का स्केलर गुणनफल शुन्य होता है।
                                         

2. दो समान्तर वेस्टरो का स्केलर गुणनफल उनके परिमाण के गुणनफल के बराबर होता है।
                           

3. किसी vector का उसी Vector से scelar गुणनफल उस vector के परिमाण के गुणनफल के बराबर होता है।
जैसे –
    यदि A→ का A→ से गुणा कराते है तो
                                         

4. एकांक लंबकोणीय वेस्टरो i, j, k के स्केलर गुणनफल में निम्न सम्बन्ध है।

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